2013, une année renversante !

Une nouvelle année qui commence, pour beaucoup c’est l’occasion de faire la fête, de prendre des bonnes résolutions et de faire des projets pour les trois cent soixante-cinq jours à venir. Mais pour les matheux, c’est surtout le moment de se pencher sur les propriétés mathématiques du numéro de notre nouvelle année :

                                                                                                   2013

Ce nombre possède quelques secrets tout à fait étonnants que je vous propose de découvrir.

Au cours de cette news, je vous proposerai quelques petites énigmes mathématiques. À vous de les résoudre et de partager vos réponses dans les commentaires.

À l’envers, à l’endroit

Commençons par quelques petits points de vocabulaire. En mathématiques, le renverséd’un nombre s’obtient en écrivant ce nombre dans l’autre sens. Par exemple, le renversé de 1234 est 4321. Un nombre qui est son propre renversé, comme 123321, s’appelle unpalindrome. Dans ce cas, on peut regarder son birenversé qui s’obtient en reversant chaque moitié du nombre : le birenversé de 123321 est 321123.

En matière de renversement, les nombres ultimes sont ceux que l’on appelle lesuniformes, qui ne sont composés que d’un seul et même chiffre répété. Par exemple, 33, 111 ou 7777 sont des nombres uniformes. Vous pouvez renverser tout ce que vous voulez dans ces nombres, vous n’arriverez pas à les faire changer.

Venons en maintenant à 2013. Si on calcule la somme de 2013 et de son renversé, on tombe sur un nombre palindrome :

                                                                                              2013+3102=5115.
Jusque là, il n’y a rien de très étonnant, beaucoup de nombres donnent un palindrome quand on leur additionne leur renversé. Pour d’autres, en revanche, il faut plusieurs étapes : si on regarde le nombre 76, l’addition de son renversé donne 76+67=143 qui n’est pas un palindrome, mais si on répète l’opération avec 143, on trouve 143+341=484, qui est un palindrome. Énigme 1 : pensez-vous que tous les nombres finissent par aboutir à un palindrome au bout d’un certain temps si on répète ce processus ?
Passons à quelque chose de plus surprenant. Nous en étions au palindrome 5115, prenez son birenversé et multipliez le par 2. Qu’obtenez-vous ?

                                                                                                    1551×2= 3102 !

Le renversé de 2013. Diabolique, n’est-ce pas ?

Énigme 2. Existe-t-il un autre nombre à quatre chiffres qui vérifie cette propriété ?

Vous en voulez encore : faîtes maintenant la différence entre 2013 et son renversé. Cette fois on ne trouve pas un palindrome, non mais le carré d’un palindrome, et même d’un nombre uniforme :

                                                                                                       3102−2013=1089=33².

Ce nombre 1089, possède des propriétés fascinantes. Son renversé 9801 est lui même le carré de 99 et si on fait la multiplication 1089×9801, on obtient 10673289 qui est le carré de 3267 (regardez bien les couleurs).

Et pour finir avec 1089, je vous propose un petit tour de magie

Un tour de magie

  • Pensez à un nombre à trois chiffres qui n’est pas un palindrome.
  • Calculez la différence entre votre nombre et son renversé. Par exemple, si vous aviez choisi, 123 vous trouvez 321-123=198.
  • Prenez le nombre que vous venez d’obtenir et ajoutez lui son renversé.

Et vous trouvez…

                                                                                                                   1089 !

Épatant n’est-ce pas ?

Énigme 3. Sauriez-vous expliquer ce phénomène ? Est-ce que cela marche vraiment quelque soit le nombre choisi au départ ?

Changeons de base !

Vous savez peut-être qu’il est possible d’écrire les nombres en différentes bases. Dans notre système classique nous comptons en base 10, ainsi, quand on écrit 2013, cela signifie que le nombre contient : 3 unités, 1 dizaine qui est un paquet de dix unités, 0 centaine qui sont des paquets de dix dizaines et 2 milliers qui sont des paquets de dix centaines, en d’autre termes :

                                                                                            2013= 2×1000+0×100+1×10+3

Mais au cours de l’histoire, d’autres civilisations ont écrit leurs nombres dans des bases différentes. Par exemple, il y a 5000 ans, les babyloniens écrivaient en base 60, or 2013 se décompose de la façon suivante en paquets de 60 :

                                                                                               2013= 33×60+33

Revoilà notre vieil ami le 33 (vous savez, la racine carrée de 1089), ainsi, 2013 est un nombre uniforme en base soixante :

                                                                                                   33 33

ou en notation babylonienne :

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Énigme 4. Sauriez-vous trouver la prochaine année qui sera un nombre uniforme en écriture babylonienne ?

Essayons une autre base. L’année 2013 est la treizième du millénaire, que diriez-vous de l’écrire en base treize ?

                                                                                           2013= 11×13²+11×13+11

Ainsi, en base treize, 2013 s’écrit :

                                                                                              11 11 11

Oh, encore un nombre uniforme !

 Vous l’aurez compris, 2013 risque d’être une année renversante. Et le 31 février (31.02.2013) en sera probablement une date mémorable ! Quoi ? J’ai dit quelque chose ? Bref, il ne nous reste plus qu’à vous souhaiter une bonne et heureuse année

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Énigme 5. Combien de numérations différentes êtes-vous capable d’identifier ci-dessus ?
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2 Réponses

  1. je vais attendre demain pour faire les calculs..;mon cerveau ne répond plus ! excellente année 2013 !

    1. Merci bien mon amie Sandra , je te souhaite mes voeux les meilleurs de santé, succes et bonheur pour 2013.
      Amitiés

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